A geratriz de um cone reto mede 40 cm
Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 56 Ex. 8
A geratriz do cone reto da figura mede 40 cm e faz um ângulo de 80 graus com o diâmetro da base.
Em cada alínea, apresenta os valores arredondados às décimas.
- Calcula a altura do cone.
- Determina o volume do cone.
- Qual é a área da superfície deste cone?
- No triângulo retângulo [OBV], temos:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\mathop{\rm sen}\nolimits} 80^\circ = \frac{{\overline {OV} }}{{\overline {VB} }}}& \Leftrightarrow &{{\mathop{\rm sen}\nolimits} 80^\circ = \frac{h}{{40}}}\\{}& \Leftrightarrow &{h = 40 \times {\mathop{\rm sen}\nolimits} 80^\circ }\\{}&{}&{h \approx 39,4}\end{array}\]
Portanto, o cone tem, aproximadamente, 39,4 cm de altura.
- Comecemos por determinar o comprimento do raio da base do cone:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\cos 80^\circ = \frac{{\overline {OB} }}{{\overline {VB} }}}& \Leftrightarrow &{\cos 80^\circ = \frac{r}{{40}}}\\{}& \Leftrightarrow &{r = 40 \times \cos 80^\circ }\\{}&{}&{r \approx 6,9}\end{array}\]
O cone tem, aproximadamente, 1990,2 cm3 de volume:
\[V = \frac{1}{3} \times \pi \times {\left( {40 \times \cos 80^\circ } \right)^2} \times 40 \times {\mathop{\rm sen}\nolimits} 80^\circ \approx 1990,2\]
- Determinemos agora uma expressão para a área da superfície lateral do cone:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{A_L}}}{{2\pi r}} = \frac{{\pi {g^2}}}{{2\pi g}}}& \Leftrightarrow &{\frac{{{A_L}}}{{2\pi r}} = \frac{g}{2}}\\{}& \Leftrightarrow &{{A_L} = \pi rg}\end{array}\]
A superfície do cone, tem aproximadamente, 1024,4 cm2 de área:
\[A = \pi \times {\left( {40 \times \cos 80^\circ } \right)^2} + \pi \times 40 \times 40 \times \cos 80^\circ \approx 1024,4\]