Um hexágono regular inscrito numa circunferência
Circunferência: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 145 Ex. 16
Enunciado
Desenha um hexágono regular inscrito numa circunferência e os raios correspondentes aos extremos de cada um dos lados do hexágono.
- Classifica cada um dos triângulos obtidos.
- Que relação existe entre o comprimento do lado do hexágono e o comprimento do raio da circunferência circunscrita ao hexágono?
- Se a circunferência tiver 5 cm de raio, qual é a área do hexágono nela inscrito?
Apresenta todos os cálculos que efetuares e o valor arredondado às unidades.
Resolução
Os seis triângulos obtidos são equiláteros e geometricamente iguais.
Como a circunferência foi dividida em seis arcos geometricamente iguais, então os seis ângulos ao centro são geometricamente iguais e com amplitude de 60 graus.
Considere-se agora, por exemplo, o triângulo [OAB].
Dois dos lados deste triângulo são raios da circunferência, os lados [OA] e [OB]. Como, num triângulo, a lados iguais se opõem ângulos iguais, então \(O\widehat AB = O\widehat BA = \frac{{180^\circ – A\widehat OB}}{2} = \frac{{180^\circ – 60^\circ }}{2} = 60^\circ \).
Ora, sendo equiângulo, o triângulo [OAB] é também equilátero, c.q.m.
- Da prova anterior, resulta que são iguais o comprimento do lado do hexágono e o comprimento do raio da circunferência circunscrita ao hexágono.
- Comecemos por determinar a altura de um desses triângulos:
\[\overline {OM} = \sqrt {{{\overline {OB} }^2} – {{\overline {OM} }^2}} = \sqrt {{5^2} – {{\left( {{\textstyle{5 \over 2}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{100 – 25}}{4}} = \sqrt {\frac{{3 \times 25}}{4}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{2}\]
Portanto, a área do hexágono, em centímetros quadrados com arredondamento à unidade, é:
\[{A_{\left[ {ABCDEF} \right]}} = 6 \times {A_{\left[ {OBC} \right]}} = 6 \times \frac{{\overline {BC} \times \overline {OM} }}{2} = 6 \times \frac{{5 \times {\textstyle{{5\sqrt 3 } \over 2}}}}{2} = \frac{{75\sqrt 3 }}{2} \approx 65\]
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[…] Como se sabe, o hexágono regular é decomponível em seis triângulos equiláteros geometricamente iguais, de lado igual ao lado do hexágono. (Para rever, consultar aqui) […]