Duas bolas
Módulo inicial: Matemática A 10.º - Parte 1 - Pág. 36 Ex. 17
Uma bola com $30$ cm de diâmetro está apoiada no solo e encostada a uma parede.
Poderá uma bola de $5$ cm de diâmetro passar entre a parede e o solo sem tocar na bola maior?
A bola mais pequena poderá passar entre a parede e o solo sem tocar na bola maior se e só se $\overline {OP} < \overline {OQ} $.
É conveniente reparar que $\left[ {OA} \right]$ e $\left[ {OB} \right]$ são diagonais de quadrados, cujos comprimentos dos lados são, respetivamente, $15$ cm e $r$ cm.
Assim, para $r = \frac{5}{2}$, tem-se:
$$\begin{array}{*{20}{c}}
{\overline {OA} = 15\sqrt 2 }&{\rm{e}}&{\overline {OB} = \frac{5}{2}\sqrt 2 }
\end{array}$$
Logo, vem:
$$\begin{array}{*{20}{c}}
{\overline {OQ} = \overline {OA} – \overline {QA} = 15\sqrt 2 – 15 = 15\left( {\sqrt 2 – 1} \right)}&{\rm{e}}&{\overline {OP} = \overline {OB} + \overline {BP} = \frac{5}{2}\sqrt 2 + \frac{5}{2} = \frac{5}{2}\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}\\
{\overline {OQ} \approx 6,213}&e&{\overline {OP} \approx 6,036}
\end{array}$$
Como $\overline {OP} < \overline {OQ} $, então a bola mais pequena poderá passar entre a parede e o solo sem tocar na bola maior.
Nota 1:
Verifique esta possibilidade na aplicação apresentada acima, fazendo $r = 2,5$.
Nota 2:
Sejam $c$ e $d$, respetivamente, os comprimentos do lado de um quadrado e da sua diagonal. De acordo com o Teorema de Pitágoras, tem-se:
$$d = \sqrt {{c^2} + {c^2}} = \sqrt {2{c^2}} = c\sqrt 2 $$
Isto é, o comprimento da diagonal de um quadrado é $\sqrt 2 $ vezes o comprimento do seu lado.
Já agora, determine a relação entre o comprimento da diagonal espacial de um cubo e o comprimento da sua aresta.
(Resposta: ${d_e} = a\sqrt 3 $) – Porquê?