A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Uma festa num recinto fechado

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 115 Ex. 7

Enunciado

Uma Associação de Estudantes vai organizar uma festa num recinto fechado e resolveu, por questões de segurança, que o número de bilhetes a imprimir deveria ser menos 20% do que o número máximo de pessoas que cabem no recinto.

  1. A Associação de Estudantes decidiu organizar a festa
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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Pressão exercida sobre o êmbolo de uma seringa

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 115 Ex. 6

Enunciado

Sabemos que, se exercermos pressão sobre o êmbolo de uma seringa tapando o orifício com o dedo de modo a não deixar sair o gás, o volume diminui à medida que a pressão aumenta. À temperatura de 0 °C registaram-se os valores da tabela.

  1. O volume, à
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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

O Sr. António visita o irmão

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 115 Ex. 5

Enunciado

O Sr. António percebeu que o tempo, t (em horas), gasto para ir da sua cidade para a cidade onde morava o seu irmão, pelo mesmo caminho, dependia da velocidade média, v (em km/h), do seu automóvel.

  1. Qual é a distância percorrida pelo Sr. António, quando vai
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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Copia e completa a tabela

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 114 Ex. 3

Enunciado

Copia e completa a tabela, sabendo que m e n são grandezas inversamente proporcionais.

Resolução >> Resolução

Como as grandezas são inversamente proporcionais, então é constante o produto das medidas correspondentes dessas grandezas. Assim, temos:\[\begin{array}{*{20}{l}}{m \times n = 2 \times 75}& \Leftrightarrow &{m \times n = 150}\end{array}\]…

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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Uma parábola e um triângulo

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 113 Ex. 9

Enunciado

Na figura, estão representados, num referencial cartesiano, parte do gráfico de uma função quadrática f e o triângulo [OAB].
Sabe-se que:

  • o ponto O é a origem do referencial;
  • o ponto A pertence ao gráfico da função f e tem abcissa igual a 2;
  • o
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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Resolve graficamente as equações seguintes

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 113 Ex. 8

Enunciado

Resolve graficamente as equações seguintes.

  1. \(2{x^2} + 5x – 3 = 0\)
     
  2. \( – {x^2} – 4x + 5 = 0\)
     
  3. \(4{x^2} – 2x – 2 = 0\)

Resolução >> Resolução

  1. \(2{x^2} + 5x – 3 = 0\)
    \[\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2} + 5x – 3 = 0}& \Leftrightarrow &{\underbrace
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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Determina analiticamente as coordenadas dos pontos de interseção dos gráficos de f e g

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 113 Ex. 7

Enunciado

Considera as funções f e g, definidas por \(f\left( x \right) = {x^2}\) e \(g\left( x \right) = – 6x – 8\).
Determina analiticamente as coordenadas dos pontos de interseção dos gráficos de f e g.

Resolução >> Resolução

Comecemos por determinar as abcissas dos …

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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Determina uma expressão algébrica para cada uma das funções

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 113 Ex. 6

Enunciado

No referencial cartesiano da figura estão representados os gráficos de duas funções f e g, respetivamente, a parábola de vértice \(\left( {0,\;0} \right)\) que passa pelo ponto \(A\left( { – 1,\; – 1} \right)\) e a reta DE em que \(D\left( {0,\; – 2} \right)\) e …

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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Escreve uma expressão algébrica da função f

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 113 Ex. 5

Enunciado

Seja f uma função quadrática do tipo \(y = a{x^2}\), com \(a \ne 0\), tal que \(f\left( 1 \right) = – 7\).

Escreve uma expressão algébrica da função f.

Resolução >> Resolução

Como \(f\left( 1 \right) = – 7\), vem:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( 1 \right) = – 7}& …

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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Uma parábola de eixo vertical e vértice na origem

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 112 Ex. 4

Enunciado

A função g está representada graficamente no referencial cartesiano da figura por uma parábola de eixo vertical e que passa na origem.
O ponto \(A\left( { – 2,\;2} \right)\) pertence ao gráfico de g.

Determina uma expressão algébrica de g.

Resolução >> Resolução

Os gráficos

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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Uma representação gráfica de quatro funções

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 112 Ex. 3

Enunciado

Num referencial estão representas as funções f, g, h e j, que são, respetivamente, uma função quadrática, uma função afim, uma função de proporcionalidade direta e uma função constante.

  1. Define as funções f, g, h e j recorrendo a expressões algébricas.
  2. Determina
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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Gráficos de duas funções quadráticas

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 112 Ex. 2

Enunciado

No referencial seguinte estão representados os gráficos de duas funções quadráticas do tipo \(y = a{x^2}\), com a inteiro e diferente de zero.
Escreve as suas expressões algébricas.

Resolução >> Resolução

Os gráficos das funções do tipo \(f\left( x \right) = a{x^2}\), com \(a \ne 0\), são

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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Uma função quadrática e outra afim

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 110 Tarefa 8

Enunciado

Considera a função definida, no conjunto dos números reais, por \(f\left( x \right) = 3{x^2}\).

  1. Esboça o gráfico de f num referencial cartesiano.
  2. Determina graficamente as soluções da equação \(3{x^2} = 12x\), determinando a interseção dos gráficos da função quadrática f e da função afim g,
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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Uma função quadrática representada graficamente

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 110 Tarefa 7

Enunciado

Considera uma função f quadrática representada graficamente no referencial cartesiano da figura por uma parábola de eixo vertical e que passa na origem.

Sabendo que o ponto de coordenadas \(\left( { – 2,\; – 1} \right)\) pertence ao gráfico de f, determina a expressão algébrica de …

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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

O logótipo

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 108 Tarefa 6

Enunciado

A Clara criou um logótipo, usando quatro quadrados geometricamente iguais, conforme indica a figura.
Três partes estão pintadas a vermelho e uma está pintada a azul.
Considera x o comprimento, em centímetros, do lado do quadrado azul.

  1. Seja y a área do quadrado azul em função de
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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Gráficos de duas funções

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 107 Ex. 8

Enunciado

Na figura, estão representados, num referencial cartesiano, os pontos A e B e partes dos gráficos de duas funções, f e g.

Sabe-se que:

  • o ponto O é a origem do referencial;
  • a função f é uma função de proporcionalidade direta;
  • a função g é uma
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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Uma função definida por \(y = \frac{{10}}{x}\)

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 107 Ex. 7

Enunciado

No referencial cartesiano da figura, está representada parte do gráfico da função f definida por \(y = \frac{{10}}{x}\), com \(x > 0\).

Sabe-se que:

  • os pontos P e Q pertencem ao gráfico da função f;
  • os pontos A e B pertencem ao eixo das abcissas;
  • o
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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Observa o gráfico da função f

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 107 Ex. 6

Enunciado

Observa o gráfico da função f.

  1. Verifica que a função f é de proporcionalidade inversa e determina a constante de proporcionalidade.
  2. Escreve uma expressão algébrica da função representada no gráfico.

Resolução >> Resolução

  1. A função f é de proporcionalidade inversa, pois é constante o produto das
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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

A divisão de uma tablete de chocolate

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 106 Ex. 5

Enunciado

A Ana e o Bernardo estavam a dividir uma tablete de chocolate. Como a tablete tem 12 quadrados, cada um deles iria comer 6. Entretanto, chegaram a Marta e o Gonçalo que também quiseram chocolate, logo, coube a cada um 3 quadrados.

  1. Copia e completa a seguinte
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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Considera a função f de proporcionalidade inversa

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 106 Ex. 4

Enunciado

Considera a função f de proporcionalidade inversa representada graficamente no referencial cartesiano da figura.

  1. Tendo em conta os dados da figura, determina o valor de b.
  2. Se \(a = 4\), indica a constante de proporcionalidade inversa e uma expressão algébrica da função f.

Resolução >>…

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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Considera a função de proporcionalidade inversa

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 106 Ex. 3

Enunciado

Considera a função de proporcionalidade inversa representada graficamente no referencial cartesiano da figura.

  1. Determina a expressão algébrica da função f, identificando a constante de proporcionalidade inversa.
  2. Determina a abcissa do ponto L e a ordenada do ponto J.

Resolução >> Resolução

  1. Ora, uma expressão algébrica
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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Duas grandezas inversamente proporcionais

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 106 Ex. 2

Enunciado

Sejam X e Y duas grandezas inversamente proporcionais.
Sabe-se que quando a medida de X é 3, a medida de Y é 4.

Determina uma expressão algébrica para a função de proporcionalidade inversa associada.

Resolução >> Resolução

Se X e Y são duas grandezas inversamente proporcionais e …

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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Observa as tabelas

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 106 Ex. 1

Enunciado

Observa as tabelas.

  1. Há algum tipo de proporcionalidade entre as grandezas x e y?
    E entre as grandezas a e b?
  2. Determina, quando existir, a constante de proporcionalidade.

Resolução >> Resolução

  1. As grandezas x e y são inversamente proporcionais, pois é constante o produto das
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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Um percurso de comboio

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 102 Ex. 6

Enunciado

Um comboio que anda à velocidade média de 75 km/h faz um certo percurso em 36 minutos.

Quanto tempo demoraria a fazer o mesmo percurso se andasse a uma velocidade média de 45 km/h?

Resolução >> Resolução

Um comboio que anda à velocidade média de 75 km/h …

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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Produção diária de ovos

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 102 Ex. 5

Enunciado

Para se embalar a produção diária de ovos da empresa Aves são necessárias 120 caixas. Em cada caixa colocam-se duas dúzias e meia de ovos.

Quantas caixas são necessárias para embalar a mesma produção diária, se se usarem caixas de duas dúzias de ovos?
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