A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

A Casinha da Matemática Blog

Mostre que todo o número complexo não nulo tem inverso em $\mathbb{C}$ 0

12.º Ano / Aplicando / Números complexos

Mostre que todo o número complexo não nulo tem inverso em $\mathbb{C}$

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 73 Ex. 40

Enunciado

Mostre que todo o número complexo não nulo tem inverso em $\mathbb{C}$

Resolução >> Resolução

Para $z = a + bi$, não nulo, temos: $$\begin{array}{*{20}{l}}   {\frac{1}{z}}& = &{\frac{1}{{a + bi}}} \\   {}& = &{\frac{1}{{a + bi}} \times \frac{{a – bi}}{{a – bi}}} \\   {}& = &{\frac{{a – …

Escreva na forma $a + bi$ 0

12.º Ano / Aplicando / Números complexos

Escreva na forma $a + bi$

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 72 Ex. 39

Enunciado

Escreva na forma $a + bi$:

  1. $\frac{5}{{3 – i}}$
     
  2. $\frac{{2 + i}}{{2 – i}}$
     
  3. $\frac{{3 + 2i}}{{5i}}$
     
  4. ${i^{101}}$
     
  5. ${i^{1999}} – 2$
     
  6. ${i^{4n}} – 2{i^{4n + 3}}$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {\frac{5}{{3 – i}}}& = &{\frac{5}{{3 – i}} \times \frac{{3 + i}}{{3 + i}}} \\
      {}& = &{\frac{{15
…
Mostre que 0

12.º Ano / Aplicando / Números complexos

Mostre que

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 72 Ex. 38

Enunciado

Sendo ${z_1} = {a_1} + {b_1}i$ e ${z_2} = {a_2} + {b_2}i$, mostre que:

  1. $\overline {{z_1} + {z_2}}  = \overline {{z_1}}  + \overline {{z_2}} $
     
  2. $\overline {{z_1}.{z_2}}  = \overline {{z_1}} .\overline {{z_2}} $
     
  3. $\overline {{z_1} – {z_2}}  = \overline {{z_1}}  – \overline {{z_2}} $
     
  4. $\overline {\left( {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}}
…
Efetue 0

12.º Ano / Aplicando / Números complexos

Efetue

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 70 Ex. 35

Enunciado

Efetue:

  1. ${3i\left( {2 + 4i} \right)}$
     
  2. ${\left( {3 + 2i} \right)\left( { – 5 – i} \right)}$
     
  3. ${{{\left( {2 – 3i} \right)}^2}}$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {3i\left( {2 + 4i} \right)}& = &{3i \times 2 + 3i \times 4i} \\
      {}& = &{6i + 12{i^2}} \\
      {}&
…
Determine, em $\mathbb{C}$, as soluções das seguintes equações 0

12.º Ano / Aplicando / Números complexos

Determine, em $\mathbb{C}$, as soluções das seguintes equações

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 69 Ex. 29

Enunciado

Determine as soluções das seguintes equações:

  1. ${x^3} + 5x = 0$
     
  2. ${x^2} + 4x + 7 = 0$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{x^3} + 5x = 0}& \Leftrightarrow &{x({x^2} + 5) = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x = 0}& \vee &{{x^2} + 5 = 0}
    \end{array}}
…
A partir de ${i^2} = – 1$ 0

12.º Ano / Aplicando / Números complexos

A partir de ${i^2} = – 1$

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 68 Ex. 27

Enunciado

A partir de ${i^2} =  – 1$

  1. Calcule: ${i^3}$, ${i^4}$, ${i^6}$, ${i^{10}}$, ${i^{96}}$ e ${i^{105}}$.
     
  2. Para todo o $n \in \mathbb{N}$, calcule: ${i^{4n}}$, ${i^{4n + 1}}$, ${i^{4n + 2}}$ e ${i^{4n + 3}}$.

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{i^3} = {i^2} \times i =  – 1 \times i
…
0

12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

As curvas ${C_1}$ e ${C_2}$ são as representações gráficas das funções $f$ e $g$

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 130 Ex. 14

Enunciado

As curvas ${C_1}$ e ${C_2}$ da figura são as representações gráficas das funções $f$ e $g$ definidas, em $\left[ {0,2\pi } \right]$, respetivamente, por:

$$\begin{array}{*{20}{c}}
  {f(x) = \operatorname{sen} x}&{}&{\text{e}}&{}&{g(x) = \operatorname{sen} 2x}
\end{array}$$

  1. Determine as coordenadas dos pontos de intersecção das duas curvas.
     
  2. Resolva graficamente as inequações:
…
0

12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

$C$ é uma semicircunferência

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 129 Ex. 13

Enunciado

$C$ é uma semicircunferência de diâmetro [AB], de centro O e de raio $r$.

[OC] é o raio perpendicular a [AB], M é um ponto do arco AC. Designa-se por $\theta $ a medida em radianos do ângulo AOM $\left( {0 \leqslant \theta  \leqslant \frac{\pi }{2}} \right)$.…

0

12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

A figura representa parte da representação gráfica da função $f$

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 129 Ex. 12 (Adaptado)

Enunciado

A figura representa parte da representação gráfica da função $f$ derivável em $\mathbb{R}$.
As retas ${t_1}$ e ${t_2}$ são tangentes ao gráfico de $f$ nos pontos B e A, respetivamente.
 

 

Recorrendo ao gráfico:

  1. Resolva a equação $f'(x) = 0$ em $\left[ { – 2,3} \right]$.
     

  2. Determine o

…
0

12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

Um corredor de um museu

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 128 Ex. 11

Enunciado

Na figura está representado um corredor de um museu.

Considere a reta que passa por O, sendo $0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}$, e que encontra as paredes em A e B.

  1. Exprima $\overline {OA} $ em função de $\alpha $.
     
  2. Exprima $\overline {OB} $ em função
…
9.º Ano: Teste Intermédio de Matemática, 10 de Maio de 2012 1

9.º Ano

9.º Ano: Teste Intermédio de Matemática, 10 de Maio de 2012

Teste Intermédio

Toda a informação e documentação relativa aos Testes Intermédios pode ser acedida na Página do GAVE.

Testes Intermédios 2011/2012
Enunciados, Resoluções e Critérios de Classificação dos Testes Intermédios
…
0

12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

Considere as funções reais de variável real

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 128 Ex. 10

Enunciado

Considere as funções reais de variável real:

$\begin{array}{*{20}{c}}
  {f(x) = x + 2\operatorname{sen} x}&{}&{g(x) = x + \cos x}&{}&{h(x) = x + \operatorname{tg} x}
\end{array}$

Determine, para cada uma das funções dadas, as abcissas de todos os pontos do gráfico em que a reta tangente é horizontal.…

Caracterize a função derivada 0

12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

Caracterize a função derivada

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 128 Ex. 9

Enunciado

Recorrendo às regras de derivação, caracterize a função derivada em cada um dos casos seguintes:

  1. $f(x) = {x^2}\operatorname{sen} x$
     
  2. $f(x) = 5x\cos \left( {3x} \right)$
     
  3. $f(x) = \frac{{1 – \cos x}}{{1 + \cos x}}$
     
  4. $f(x) = \frac{x}{{\operatorname{sen} x}}$
     
  5. $f(x) = \frac{{\operatorname{tg} x}}{{1 + {x^2}}}$
     
  6. $f(x) = \frac{{1
…
0

12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

A secção de um túnel

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 128 Ex. 8

Enunciado

A secção de um túnel é um semicírculo com 1 hm de raio.

No interior do túnel há uma estrutura com a forma de um trapézio, como mostra a figura.

Qual é o valor de $\theta $ $\left( {0 < \theta  < \frac{\pi }{2}} \right)$ que torna …

0

12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

Uma rolha flutua num lago

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 127 Ex. 7

Enunciado

Uma rolha flutua num lago, movendo-se para cima e para baixo.

A distância $d(t)$ do fundo do lago ao centro da rolha no instante $t \geqslant 0$ é dada por $$d(t) = \cos \left( {\pi t} \right) + 12$$ com $d(t)$ expresso em metros e $t$ em …

0

12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

De um função $f$

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 127 Ex. 6

Enunciado

De um função $f$ de domínio $\left[ { – \pi ,\pi } \right]$, sabe-se que a sua derivada é:

$$f'(x) = 2x – 2\cos \left( {2x} \right)$$

  1. Calcule, analiticamente, o valor de $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x + \pi ) – f(\pi )}}{x}$$
     
  2. Estude a função
…
0

12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

Maré

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 127 Ex. 5

Enunciado

Maré é, como se sabe, o movimento periódico de subida e descida (aproximadamente duas vezes por dia) do nível das águas do mar.

A expressão abaixo representa a variação $M$ da maré na baixa de Boston, desde as 0 às 24 horas de um determinado dia:

$$M(t) …

Considere a função $f$ 0

12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

Considere a função $f$

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 54 Ex. 26

Enunciado

Considere a função $$f:x \to 2x – \operatorname{sen} x$$

  1. Estude a paridade da função $f$ e exprima $f(x + 2\pi )$ em função de $f(x)$.
    Verifique que se pode estudar $f$ em $\left[ {0,\pi } \right]$ e obter toda a curva ${C_f}$, recorrendo a transformações adequadas.
     
  2. Estude
…
Dada a função $f$ 0

12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

Dada a função $f$

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 53 Ex. 24

Enunciado

Dada a função $f$ tal que $$f(x) = \sqrt 3 \operatorname{sen} x + \cos x$$

  1. Encontre $a$ e $\alpha $ de modo que $$f(x) = a\operatorname{sen} \left( {x + \alpha } \right)$$
     
  2. Resolva a equação $f(x) = 1$.

Resolução >> Resolução

$$f(x) = \sqrt 3 \operatorname{sen} x …

Determine as expressões designatórias das funções derivadas 0

12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

Determine as expressões designatórias das funções derivadas

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 50 Ex. 23

Enunciado

  1. Determine as expressões designatórias das funções derivadas das funções:
     
    a) $f:x \to \operatorname{sen} (3x) + \cos x$
     
    b) $g:x \to {\cos ^2}(2x)$
     
    c) $h:\alpha  \to \frac{{1 – \cos (3\alpha )}}{\alpha }$
     
    d) $i:z \to \frac{{1 – \cos (2z)}}{{1 + \cos (2z)}}$
     
    e) $j:t \to \cos \left( {4
…
Calcule a derivada de cada uma das funções 0

12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

Calcule a derivada de cada uma das funções

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 49 Ex. 22

Enunciado

Calcule a derivada de cada uma das funções reais de variável real:

  1. $f:x \to 3 + 2\cos x$
     
  2. $g:x \to \operatorname{sen} x + \cos x$
     
  3. $h:t \to \operatorname{sen} t.\cos t$
     
  4. $i:z \to 3z\cos z$
     
  5. $j:x \to 3x\operatorname{tg} x$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {f'(x)}& = &{\left( {3 +
…
Determine a expressão designatória da função derivada 1

12.º Ano / Aplicando / Funções exponenciais e logarítmicas

Determine a expressão designatória da função derivada

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 47 Ex. 19

Enunciado

Determine a expressão designatória da função derivada de cada uma das funções:

  1. $f:x \to 2\operatorname{sen} x + 5$
     
  2. $g:t \to t – 2\operatorname{sen} t$
     
  3. $h:\theta  \to {\theta ^2}\operatorname{sen} \theta $

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {f'(x)}& = &{\left( {2\operatorname{sen} x + 5} \right)’} \\
      {}& = &{2 \times
…
2

9.º Ano / Aplicando / Equações do 2.º grau

Ficha de trabalho

9.º Ano: Equação do 2.º grau

A presente Ficha de Trabalho aborda o tema Equação do 2.º grau.

As dificuldades que encontres durante a sua resolução deves tentar superá-las consultando o manual e o caderno diário; depois, poderás tirar as dúvidas na aula ou na sala de estudo.

A realização da Ficha de Trabalho de …

0

9.º Ano / Aplicando / Equações do 2.º grau

A largura da calçada

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Pág. 69 Ex. 10

Enunciado

O Sr. José foi contratado para fazer uma calçada à volta de dois lados de um terreno retangular.

O terreno mede 20 metros por 30 metros, como indica a figura, e a calçada deve ter sempre a mesma largura.

Sabendo que o Sr. José dispõe de 72 …