A Casinha da Matemática Blog
Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 139 Ex. 14
Enunciado
Mostre que as funções seguintes são iguais.
\[\begin{array}{*{20}{c}}
{\begin{array}{*{20}{c}}
{f:}&{\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 3,3} \right\} \to \mathbb{R}} \\
{}&{x \to \frac{{x – 3}}{{{x^2} – 9}}}
\end{array}}&{}&{\text{e}}&{}&{\begin{array}{*{20}{c}}
{g:}&{\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 3,3} \right\} \to \mathbb{R}} \\
{}&{x \to \frac{1}{{x + 3}}}
\end{array}}
\end{array}\]
Resolução >>
Resolução
\[\begin{array}{*{20}{c}}
{\begin{array}{*{20}{c}}…
Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 139 Ex. 12
Enunciado
As funções de Heaviside e rampa são definidas, respetivamente, por: \[\begin{array}{*{20}{c}}
{H\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
0& \Leftarrow &{x < 0} \\
{\frac{1}{2}}& \Leftarrow &{x = 0} \\
1& \Leftarrow &{x > 0}
\end{array}} \right.}&{\text{e}}&{R\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
0& \Leftarrow &{x \leqslant 0} \\ …
Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 138 Ex. 10
Enunciado
Considere as funções $f$ e $g$ definidas por: \[\begin{array}{*{20}{c}}
{f\left( x \right) = \frac{2}{{x – 1}}}&{\text{e}}&{g\left( x \right) = \frac{1}{{x + 3}}}
\end{array}\]
- Determine o domínio de cada uma delas.
- Caracterize as funções $f \circ g$, $g \circ f$ e $f \circ f$.
Resolução >>
Resolução
\[\begin{array}{*{20}{c}}…
Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 138 Ex. 9
Enunciado
Oliver Heaviside (Londres, 18 de maio de 1850 — Torquay, 3 de fevereiro de 1925) foi um matemático inglês.
A função de Heaviside, muito usada na Física e na Engenharia, é definida por: \[H\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
0& \Leftarrow &{x < 0} \\
{\frac{1}{2}}& …
Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 138 Ex. 8
Enunciado
Considere as funções definidas por:
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{\begin{array}{*{20}{l}}
{f:}&{\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\} \to \mathbb{R}} \\
{}&{x \to \frac{1}{{{x^2}}}}
\end{array}}&{}&{}&{\begin{array}{*{20}{l}}
{g:}&{\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 1} \right\} \to \mathbb{R}} \\
{}&{x \to x + 1}
\end{array}}&{}&{}&{\begin{array}{*{20}{l}}
{h:}&{\mathbb{R}\backslash \left\{ {0,1} \right\} \to \mathbb{R}} \\
{}&{x \to \frac{1}{{{x^2} – x}}}
\end{array}}
\end{array}\]…
Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 137 Ex. 7
Enunciado
Dadas as funções $f$ e $g$ definidas por: \[\begin{array}{*{20}{c}}
{f\left( x \right) = 2x + 3}&{\text{e}}&{g\left( x \right) = – {x^2} + 5}
\end{array}\] determine:
- $\left( {f \circ f} \right)\left( 1 \right)$
- $\left( {g \circ g} \right)\left( 2 \right)$
- $\left( {f \circ g} \right)\left( 2 \right)$
- $\left(
…
Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 137 Ex. 6
Enunciado
Gordon Haller venceu a primeira competição do Homem de Ferro em 1978
O Triatlo do Homem de Ferro é uma prova que é constituída por três partes: um percurso de natação com $3,9$ km, seguido de um percurso de ciclismo com $180$ km e, por fim, uma …
Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 137 Ex. 5
Enunciado
Considere a função $f$, cuja representação gráfica se apresenta na figura ao lado.
- Encontre uma expressão que permita definir a função $f$.
- Determine, algebricamente, a função definida por $g\left( x \right) = f\left( {x + 2} \right) + 1$.
Esboce o gráfico de $g$.
- Transforme o gráfico
…
Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 136 Ex. 3
Enunciado
Considere a função $f$, de domínio $\left] { – \infty , – 1} \right[ \cup \left[ {1, + \infty } \right[$, cujo gráfico está representado na figura.
Determine um expressão que defina a função.
Resolução >>
Resolução
O troço da esquerda é um arco de parábola, a …
Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 131 Ex. 14
Enunciado
Seja $f$ a função cujo gráfico está representado ao lado.
Seja $g$ a função, de domínio $\mathbb{R}$, definida por: $g\left( x \right) = – 2x + 1$.
Determine $\left( {f \circ g} \right)\left( 2 \right)$.
ERRATA: Na figura, no eixo $Ox$ onde se lê “1” deve …
Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 131 Ex. 13
Enunciado
Na figura está representado parte do gráfico de uma função quadrática $g$.
Seja $f$ a função, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f\left( x \right) = \left| x \right|$.
Qual é o valor de $\left( {f \circ g} \right)\left( 3 \right)$?
Qual é o valor de $\left( {g …
Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 127 Ex. 12
Enunciado
Na figura estão representadas:
- parte do gráfico de uma função quadrática $f$;
- parte do gráfico de uma função afim $g$.
Determine o domínio de cada uma das seguintes funções: $\frac{f}{g}$ e $\frac{g}{f}$.
Resolução >>
Resolução
\[{D_{\frac{f}{g}}} = {D_f} \cap {D_g} \cap \left\{ {x \in \mathbb{R}:g\left( x \right) …
Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 127 Ex. 11
Enunciado
Considere as funções definidas por:
\[\begin{array}{*{20}{r}}
{\begin{array}{*{20}{l}}
{f:}&{\mathbb{R} \to \mathbb{R}} \\
{}&{x \to {x^2}}
\end{array}}&{}&{\begin{array}{*{20}{l}}
{g:}&{\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 1} \right\} \to \mathbb{R}} \\
{}&{x \to \frac{1}{{x + 1}}}
\end{array}}&{}&{\begin{array}{*{20}{l}}
{h:}&{\mathbb{R} \to \mathbb{R}} \\
{}&{x \to {x^2} – x}
\end{array}}
\end{array}\]
Caracterize as seguintes funções:
\[\begin{array}{*{20}{l}}…
Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 125 Ex. 10
EnunciadoSejam $f$ e $g$ duas funções definidas por: \[\begin{array}{*{20}{c}}
{f\left( x \right) = {x^2} – 4}&{\text{e}}&{g\left( x \right) = x + 2}
\end{array}\]
Caracterize a função $\frac{f}{g}$ e estude o seu sinal, relacionando-o com o sinal quer da função $f$ quer da função $g$.
Resolução >>
Resolução…
Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 122 Ex. 9
Enunciado
Na figura estão representadas graficamente as funções $s$ e $t$.
Determine:
- $s\left( 0 \right)$
- $t\left( 5 \right)$
- $\left( {s + t} \right)\left( 3 \right)$
- $\left( {s – t} \right)\left( 3 \right)$
Resolução >>
Resolução
- $s\left( 0 \right) = 2$
- $t\left( 5 \right) = 0$
- $\left( {s +
…
Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 118 Ex. 8
Enunciado
Verifique se são iguais os seguintes pares de funções reais de variável real:
- \[\begin{array}{*{20}{l}}
{f\left( x \right) = \frac{{2 – x}}{{{x^2} – 4}}}&{\text{e}}&{g\left( x \right) = \frac{{ – 1}}{{x + 2}}}
\end{array}\]
- \[\begin{array}{*{20}{l}}
{f\left( x \right) = \frac{x}{{x – 1}}}&{\text{e}}&{g\left( x \right) = \frac{{{x^2} – x}}{{{{\left( {x
…
Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 116 Ex. 7
Enunciado
Com a ajuda da calculadora gráfica, estude a continuidade das seguintes funções de acordo com os valores que o parâmetro real $m$ toma.
\[\begin{array}{*{20}{c}}
{h\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{m}{x}}& \Leftarrow &{0 < x \leqslant 2} \\
{ – {x^2} + 10x + 3}& \Leftarrow &{x …
Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 116 Ex. 6
Enunciado
Representação gráfica da função $f$
Considere uma função $f$, real de variável real, de domínio $\mathbb{R}$, cuja representação gráfica se apresenta ao lado.
- Complete a tabela:
| $x$ |
|
|
|
|
| $f\left( x \right)$ |
$0$ |
$1$ |
$3$ |
$5$ |
- Determine a equação reduzida de cada uma das retas: AB, BC e
…
Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 116 Ex. 5
Enunciado
Defina, sem usar o símbolo de módulo, e represente graficamente, cada uma das seguintes funções:
- $f(x) = \left| {x – 1} \right| + 2$
- $g(x) = – \left| {3{x^2} – 2x – 1} \right|$
- $h(x) = – \left| {x\left( {x – 2} \right)\left( {x + 1} \right)}
…
Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 64 Ex. 5
Enunciado
Uma bola desce um plano inclinado, onde foi espalhado um gel que dificulta o movimento.
A distância, $d$, em centímetros, da bola ao topo do plano inclinado em função do tempo, $t$, em segundos, é dada por: \[d\left( t \right) = 1,3{t^2} – t + 2\]
- Represente
…
Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 53 Ex. 2
Enunciado
Resolva, em $\mathbb{R}$, a equação seguinte: \[{\frac{{2x + 4}}{{x – 3}} = \frac{{x – 2}}{{x + 5}}}\]
Resolução >>
Resolução
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{2x + 4}}{{\mathop {x{\rm{ }} – {\rm{ }}3}\limits_{\left( {x + 5} \right)} }} = \frac{{x – 2}}{{\mathop {x{\rm{ }} + {\rm{ }}5}\limits_{\left( {x – 3} \right)} }}}& …
Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 53 Ex. 1
Enunciado
Juntou-se ácido puro a $30$ gramas de uma substância $30$% ácida.
Seja $x$ o número de gramas de ácido puro adicionado.
- Determine uma expressão que represente a concentração do composto formado.
- Represente graficamente a função da alínea anterior.
- Entre que valores varia a função?
- Qual a quantidade
…
Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 52 Ex. 12
Enunciado
Considere a função $f$ definida por: \[f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} – 3x + 2}}\]
Determine o conjunto solução de cada uma das inequações:
- $f\left( x \right) > 0$
- $f\left( {x – 2} \right) > 0$
Resolução >>
Resolução
-
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{f\left( x \right) > 0}& \Leftrightarrow &{\frac{x}{{{x^2}
…
Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 52 Ex. 10
Enunciado
Considera a função $g\left( x \right) = \frac{1}{x}$, de domínio $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$.
- Que transformações geométricas se devem efetuar a partir do gráfico de $g$ para se obter o gráfico da função \[f\left( x \right) = \frac{{x – 1}}{{2x – 3}}\] de domínio $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{3}{2}}
…
Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 51 Ex. 9
Enunciado
- Represente graficamente, no mesmo referencial, as seguintes funções:
\[\begin{array}{*{20}{r}}
{f\left( x \right) = x + 1}&{\text{;}}&{g\left( x \right) = f\left( {\frac{1}{x}} \right)}&{\text{e}}&{h\left( x \right) = \frac{1}{{f\left( x \right)}}}
\end{array}\]
- Determine o domínio de cada uma das funções anteriores.
- Compare os três gráficos.
Quais os pontos dos gráficos
…
