Category: 12.º Ano

0

Uma trave de madeira

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 222 Ex. 73

Enunciado

Num canto de um terreno murado pretende-se delimitar com uma trave de madeira a maior área de terreno possível.

Sabendo que a trave mede 5 metros, em que posição deve ser colocada?

Resolução >> Resolução

Para $0 < x < 5$ e $0 < y < 5$, …

0

Considere a função real de variável real

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 177 Ex. 108

Enunciado

 Considere a função real de variável real $$f:x \to \ln \left( {{e^x} – 1} \right)$$

  1. Determine o domínio e zeros de $f$.
     
  2. Determine as equações das assíntotas ao gráfico de $f$.
     
  3. Estude a monotonia da função.
     
  4. Esboce o gráfico de $f$.
     
  5. Determine uma equação da reta tangente
Estude e represente graficamente a função 0

Estude e represente graficamente a função

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 175 Ex. 107

Enunciado

Estude e represente graficamente a função seno hiperbólico definida em $\mathbb{R}$ por: $$f(x) = {\text{senh}}\,x = \frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{2}$$

Resolução >> Resolução

  • Domínio

 ${D_f} = \mathbb{R}$

  • Zeros

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {f(x) = 0}& \Leftrightarrow &{\frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{2} = 0} \\
  {}& \Leftrightarrow &{{e^x} – {e^{ …

0

Determine uma equação da reta tangente ao gráfico

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 228 Ex. 89

Enunciado

  1. Determine uma equação da reta tangente ao gráfico de $y = {x^3} + \ln \left( {2x – 3} \right)$ no ponto $T\left( {2,8} \right)$.
     
  2. Determine uma equação da reta tangente ao gráfico de $y = 2x + \ln x$, perpendicular à reta de equação $x + 3y
Determine uma expressão analítica da derivada de cada uma das funções 0

Determine uma expressão analítica da derivada de cada uma das funções

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 227 Ex. 88

Enunciado

Determine uma expressão analítica da derivada de cada uma das funções:

  1. $f:x \to {e^{ – 4x}}$
     
  2. $f:x \to {e^{\sqrt {2 + x} }}$
     
  3. $f:x \to {e^x}\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)$
     
  4. $f:x \to {e^{\frac{1}{x}}} + {e^{ – \frac{1}{x}}}$
     
  5. $f:x \to \frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{{{e^x} +
$C$ é a curva representativa da função 0

$C$ é a curva representativa da função

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 216 Ex. 54

Enunciado

 $C$ é a curva representativa da função $$f:x \to \frac{1}{{1 + x}}$$

  1. Determine os pontos de $C$ onde a reta tangente é paralela à reta de equação $y =  – x$.
     
  2. Existem tangentes à curva $C$ paralelas à reta de equação $y = x$?
     
  3. Esboce $C$.

Resolução

0

Considere a curva $C$

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 216 Ex. 53

Enunciado

Considere a curva $C$ de equação $$y = \frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^2} + 3}}$$

  1. Determine as abcissas dos pontos da curva de ordenada 1.
     
  2. Determine uma equação de cada uma das retas tangentes à curva nos pontos obtidos na alínea anterior.
     
  3. Determine as coordenadas do ponto de interseção
0

Uma esfera metálica

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 215 Ex. 51

Enunciado

Uma esfera metálica M move-se sobre uma reta r durante 12 segundos.

A sua posição em relação ao ponto O, em função do tempo, é dada pela equação $$d(t) = {t^3} – 16{t^2} + 50t + 40$$ com $d$ em centímetros.

Uma posição $-1$ significa que a …

0

Um projétil é lançado do cimo de uma ponte

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 215 Ex. 50

Enunciado

Um projétil é lançado do cimo de uma ponte, para o alto.

A sua altura $y$, acima do solo, em metros, $t$ segundos depois é dada por:$$y = f(t) =  – 5{t^2} + 15t + 12$$

  1. Qual é a altura da ponte?
     
  2. Qual é a velocidade média
0

Com referência ao gráfico da função $f$

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 212 Ex. 40

Enunciado

 Com referência ao gráfico da função $f$ representada na figura, indique:

  1. entre que par de pontos consecutivos a taxa média de variação da função é maior.
     
  2. entre que par de pontos consecutivos a taxa média de variação está mais próxima de zero.

Resolução >> Resolução

  1. A taxa
Esboce o gráfico das funções 0

Esboce o gráfico das funções

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 211 Ex. 39

Enunciado

Esboce o gráfico das funções $f(x) = \frac{1}{2}{x^2}$ e $g(x) = f(x) + 3$ no mesmo referencial.

O que pode dizer a respeito dos declives das retas tangentes aos dois gráficos nos pontos de abcissa $0$, $2$ e ${x_0}$? Porquê?

Resolução >> Resolução

var parameters = { …

Defina a derivada de cada uma das funções 0

Defina a derivada de cada uma das funções

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 211 Ex. 38

Enunciado

Defina a derivada de cada uma das funções:

  1. $f:x \to {x^6} – 3{x^5} + 2{x^4} + x + 2$
     
  2. $f:x \to \frac{1}{3}{x^4} – \frac{1}{2}{x^3} – 3{x^2} + \frac{1}{5}$
     
  3. $f:x \to \pi {x^5} + \frac{1}{2}{x^2} + \sqrt 3 $
     
  4. $f:x \to \frac{2}{{3{x^2} – 3}}$
     
  5. $f:x \to \frac{{{x^2} +